Вывод классической формулы выпадения сторон монеты из формул для пропорций составных событий потоковой последовательности.

Сведения об авторе. Инженер-программист  НТЦ Модуль, Филатов О.В. г. Москва.

Аннотация. По классической формуле описывающей выпадение сторон монеты нельзя рассчитать численность составных событий в потоковой последовательности (п-ти). Но из формул для расчёта составных событий потоковой п-ти выводится классическая формула монеты. Следовательно, формулы потоковой п-ти являются первичными формулами. В статье показан вывод формулы выпадения сторон монеты из формул потоковой п-ти для составных событий.

 

Ключевые слова: потоковая последовательность, составное событие, элементарное событие, цуга, мода, выпадение сторон монеты.

 

Используемые сокращения и термины:

ПП - потоковая последовательность.

ф.; ф-ла – формула;

Эл – элементарное бинарное случайное событие (0; 1).

 

Введение.

В работе [4] было показано на основе экспериментальных данных, как по уже выпавшим составным событиям (о составных событиях написано в работах [1,2]), образованных бинарными случайными элементарными событиями можно выбирать один из двух вероятностных потоков. Первый вероятностный поток соответствует тому, что указанное составное событие повторится в 18% случаев. А второй вероятностный поток соответствует тому, что указанное составное событие повторится в 37%  случаев (пропорции этого потока близки к пропорциям Золотого сечения).

Так как в работе [4] не были приведены формулы для количественного расчёта, то эти формулы приводятся в данной работе.

В работе [4] рассматривался первичный случайный процесс эквивалентный подбрасыванию монеты. Случайные события этого процесса последовательно записывались по мере выпадения, друг за другом, образуя потоковую последовательность (ПП):  F0,5(N). Где: F – обозначает поток бинарных событий; 0,5 – показывает вероятность выпадения элементарного события (эла); N – указывает на порядковый номер последнего выпавшего  элементарного события (эла).

Таким образом, была создана и записана на диск случайная, максимально сложная ПП, длиной в 5*108 бинарных событий. В записанную, на диск, ПП осуществлялось внедрение зонда толщиной в 1 эл (z=1), с шагом 25 эл (подробнее о зондовых внедрениях в работе [3]). После внедрения зонда определялась длина составного события nSN, в которое попадал зонд. Определялись длины составных событий слева и справа от зондового события. По результатам определения длины зондового события и событий слева и справа от него была построена таблица, «Последовательности nS событий», которая повторена в этой работе как таблица 1.

Описание вероятностных цепочек.

 - это вероятностные цепочки составных событий.

  - если длины событий слева и справа от зондового события (событие в которое попал зонд) не равны длине зондового события, то эта цепочка  учитывалась в столбце 2, который имеет символьное обозначение «≠_nS X _≠».

Две последующие цепочки описываются одной и той же формулой, поэтому им присвоено одно на двоих символьное обозначение -  .

 - если длина события слева не равна длине зондового события, а длина события справа равна длине зондового события, то эта цепочка  учитывалась в столбце 3, который имеет символьное обозначение «≠_nSX_nS».

 - если длина события справа не равна длине зондового события, а длина события слева равна длине зондового события, то эта цепочка  учитывалась в столбце 4, который имеет символьное обозначение «nS_nSX_≠».

  - длины событий слева и справа равны длине зондового события, эта цепочка учитывалась в столбце 5, «nS_nS X _ n.

Столбец 6 - «∑2,3,4,5»  является суммой столбцов:  2,3,4,5 .

Таблица 1.

N[1] = 5*108 эл;  k(пропуск) = 25; N / k = 2*107 число погружений зонда в ПП

nM

1

2

3

4

5

6

n

≠_nS X _≠

_nS X _ nS

nS _ nS X_≠

nS _ nS X_ nS

2,3,4,5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1251186

2812208

2875015

2195761

1465252

908043

538637

310129

174770

97681

54134

29489

15724

8635

4656

2364

1303

1249116

937865

410314

146647

47355

14397

4302

1257

300

89

21

1248252

936791

410669

146154

47737

14288

4230

1281

319

90

29

1249427

311787

59318

9749

1451

239

37

6

4997981

4998651

3755316

2498311

1561795

936967

547206

312673

175389

97860

54184

29501

15727

8638

4656

2364

1303

 

n(3) = n(4)

 

 

∑S

12 746 464

(≈63,73%)

2 811 672

(≈14,06%)

2 809 849

(≈14,05%)

1 632 014

(≈8,16%)

20000000

(100%)

∑El (

nSX )

47 292 171

(≈78,81%)

5 309 636

(≈8,45%)

5 306 931

(≈8,84%)

2 098 947

(≈3,50%)

60007685

(100%)

3,0

 

В столбце 1 приведены номера мод, которые соответствуют длинам составных событий.

Строки таблицы: 1, .., 17 – соответствуют модам и содержат численности описанных выше случаев («≠_nSX _≠», «≠_nSX _ nS», «nS_nSX_≠», «nS_nSX_nS», «∑2,3,4,5») для каждой из мод.

Число составных событий nS для каждой из мод в столбце 6 рассчитывается по ф.1 (смотри работу [3], ф.9):

Ф. 1

 Численность событий  в строках столбца 6 есть сумма по столбцам 2,3,4,5. Поэтому можно написать ф.2 (равенство), которое связывает между собой все столбцы 2,3,4,5 и столбец 6:

Ф. 2

Нормирование по числу зондовых исследований   показано в ф.2.1:

Ф. 2.1

 

Формулы для связи  - полного числа событий с каждой из вероятностных цепочек. Модовая вероятность выпадения цепочки.

 

Применяемые ниже сокращения раскрыты в вышеприведённом подразделе «Описание вероятностных цепочек».

Модовая вероятность обозначатся буквой p и буквой n - в левом верхнем углу:  - буква n подчёркивает, что это модовая вероятность.  Модовая вероятность может быть применена в расчётах только после внедрения зонда в составное событие и определение длины этого составного события. До внедрения зонда в составное событие неясно, какую конкретно модовую вероятность, из полного множества модовых вероятностей,  надо выбирать.

По ф.4  рассчитывается число вероятностных цепочек типа  (мат. ожидание) :

Ф. 4

По ф.4.1  рассчитывается вероятность для цепочки  :

Ф. 4.1

По ф.5  рассчитывается число вероятностных цепочек типа  (мат. ожидание) :

Ф. 5

По ф.5.1  рассчитывается вероятность для цепочки  :

Ф. 5.1

По ф.6  рассчитывается число вероятностных цепочек типа   (мат. ожидание):

Ф. 6

По ф.6.1  рассчитывается вероятность для цепочки  :

Ф. 6.1

 

Для перехода от математического ожидания числа цепочек к вероятности  их выпадения делим каждый член ф.2 на  – полное число событий во всех вероятностных цепочках для каждой моды.

Получаем полную (единичную) сумму вероятностей. Сумма вероятностей всех четырёх возможных цепочек равна единице, ф.7:

Ф. 7

Подставляя вместо символьных обозначений вероятностных цепочек их формулы (ф.4 – ф.6) получаем ф.7.1:

Ф. 7.1

С помощью ф.7 и ф.7.1  в таблице 2 производится описание разнообразных возможных комбинаций вероятностных цепочек. 

Таблица 2.

 

Ситуация

Вывод реализующейся вероятностной формулы

1

≠_nSX _≠

2

_nSX _ nS

3

nS _ nSX_≠

4

nS _ nSX_ nS

5

nS _ nSX_???

nS _ nS X_≠  +  nS _ nS X_ nS =  

6

???_nSX_ nS

≠_nS X _ nS  +  nS _ nS X_ nS =  

 

         В строке 1таблицы 2 выведена формула для расчёта выпадения ситуации  ≠_nSX _≠, в которой длина зондового события не равна длинам окружающих его событий. Она имеет классический вид (1-р)*(1-р).

         Такое же совпадение с классическим видом получено для ситуаций в строках 2 и 3: (1-р)*р;  р*(1-р).

         В строке 4 так же получено совпадение формулы с классическим видом для ситуации:  р*р.

В строке 5 выведена классическая формула выпадения в потоковой последовательности составного события длины n. Вероятность того, что справа выпадет событие такой же длины: . Вероятность того, что справа событие такой же не повторится:  .

Если слева событие не повторилось, то вероятность того, что справа событие повторится: 

Если слева событие не повторилось, то вероятность того, что справа событие не повторится: 

 

Рассмотренные выше цепочки составных событий обладали вполне определённой длиной n. При переходе от составных событий определённой длины к множеству составных событий разных длин, так же возникают вероятностные отношения.

 

Возможность выбора пропорций будущих потоков, на основе анализа длин выпавших событий.

В работе [4] на основе экспериментальных данных показано, что если реализовалась ситуация ≠_nSX, то есть длина зондового составного события НЕ равна длине предшествующего ему составного события, то с вероятностью 0,8192 у составного события, следующего за зондовым событием, будет другая длина, не равная длине зондового события. А, с вероятностью 0,1808 длина последующего составного события совпадёт с длиной зондового события.

         Если реализовалась ситуация nS _ nS X, то есть длина зондового события равна длине предшествующего составного события, то с вероятностью 0,6326 последующее составное событие будет иметь длину не равную длине зондового события. А с вероятностью 0,3674 длина составного события следующего за зондовым событием совпадёт с его длиной.

 

Анализируя длины зондового и предшествующего ему составных событий можно выбирать из двух потоков результаты угадываний имеющих разную вероятность:  (0,8192; 0,1808) и (0,6326;  0,3674). Интересно отметить зеркальность двух цифр после запятой для каждого из потоков.

 

Надо отметить, что при последовательном, пошаговом, прохождении ПП (без пропусков элементарных событий и без зондового исследования, работа [1]) число повторяющихся событий в ПП будет:  .  Повторов,  друг за другом, составных событий с одинаковыми длинами:  .  Выпадение последующего события другой длины произойдёт в 66,7% случаях смен составных событий.

 

Расчёт числа одинарных цуг потоковой последовательности по результатам внедрения зонда.

Замечаем, что событие  является одинарной цугой nC1: .  

Число попаданий зонда  в одинарные составные события ПП F0,5(N) можно связать с числом её цуг . Для этого надо умножить  на k и разделить на n. Действительно, так как:

То:

 

Коэффициент связи между цепочкой   и числом составных событий  в ПП

        

 

Выражение числа составных событий  ПП через :

 

Несколько отношений между величинами таблицы 1, которые близки к пропорциям Золотого и Серебряного сечений.

1)    Сумма всех составных событий в столбце 2 равна 12 746 464. Отношение этой суммы к общему числу зондовых замеров (20000000) приближается к золотому сечению: 12 746 464/20000000=0,6373232.

2)    В зондовых событиях находится 60007685 эл. В среднем на одно зондовое событие приходится 3,00 эла. Отношение среднего числа элементарных событий (1,89) в столбцах 3, 4 - к среднему числу эл приходящихся на одно зондовое событие (3,00) приближаются к золотому сечению: 1,89/3,00=0,63.

3)    Отношение суммы эл из второго столбца к сумме эл всех зондовых событий (и наоборот) хорошо совпадает с серебряным сечением:

47 292 171/60007685=0,78810;    60007685  / 47 292 171  = 1,2689

4)    Сумма всех составных событий столбцов 3 и 4 между собой делённая на  сумму составных событий столбца 2, хорошо соответствует величине серебряного сечения:

(2    809 849+2 811 672)  /  12 746 464  =  0,44103.

5)    Та же самая сумма всех составных событий столбцов 3 и 4 между собой хорошо соответствует величине второго плеча серебряного сечения: (2 809 849+2 811 672+1 632 014)/12 746 464=0,56906.

 

Библиографический список

1.     Филатов О. В., Филатов И.О., Макеева Л.Л. и др. «Потоковая теория: из сайта в книгу». М.: Век информации, 2014. С.200.

2.     Филатов О. В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности»,   «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов»,  № 5, 2014.

3.     Филатов О. В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение 1)»,   «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов»,  № 6, 2014.

4.     Филатов О. В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение 2)»,   «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов»,  № 7, 2014.

 

 



[1] Button204 Вкладка «Втыки»